UJI CHI KUADRAT (c²)


NAMA                 : WA ODE SRI WAHYUNINGSIH
NPM                    : 17 630 104
TUGAS 06           : STATISTIK/PROBABILITAS              




UJI  CHI  KUADRAT (c²)


1.       Pendahuluan

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara :                                                           frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual
                                                                        dengan
                                           frekuensi harapan/ekspektasi


1.1.    Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

       frekuensi observasi                        nilainya didapat dari hasil percobaan (o)                   
      frekuensi harapan                            nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Contoh :

1.         Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali) berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2,         sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

kategori :
sisi-1
sisi-2
sisi-3
sisi-4
sisi-5
sisi-6
frekuensi ekspektasi (e)
 
 
 


2.         Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2,      sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?
           
kategori :
sisi-1
sisi-2
sisi-3
sisi-4
sisi-5
sisi-6
frekuensi   ekspektasi (e)
20*)
20
20
20
20
20

            *) setiap  kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : x 120 = 20

            Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?
            Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul        sebanyak 20 kali?
            Coba lempar dadu sebanyak 120 kali, catat hasilnya, berapa frekuensi        kemunculan setiap sisi?
           Catatan saudara tersebut adalah frekuensi observasi.

1.2.    Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (c²)

Nilai c² adalah nilai kuadrat karena itu nilai c² selalu positif.
           

Bentuk distribusi c² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom.
Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma).
Anda bisa membacanya?


Contoh :          Berapa nilai c² untuk  db =  5 dengan = 0.010?    (15.0863)
                        Berapa nilai c² untuk  db =  17 dengan = 0.005?  (35.7185)


Pengertian pada Uji c² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan  atau taraf nyata pengujian


Perhatikan gambar berikut :

             
 

                                               
                                                a : luas daerah penolakan  = taraf nyata pengujian
           

 

       0                                                 + ¥



1.3.    Pengunaan Uji  c²

Uji c²  dapat digunakan untuk :         

a.         Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit
            b.         Uji Kebebasan
c.         Uji beberapa proporsi

Prinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja



2.       Uji Kecocokan

2.1     Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

:  frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.
 : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.



Contoh 1 :


Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu .  Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.
       :           setiap sisi akan muncul = 20 kali.
       :           ada sisi yang muncul 20 kali.



Contoh 2 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara
Coklat :  Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1
       :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim =  5 : 2 : 2 : 1
       :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim 5 : 2 : 2 : 1



2.2     Rumus  c²

                       


              k  :  banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k
               :  frekuensi observasi untuk kategori  ke-i
               :  frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i 
         kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam

Derajat Bebas (db) = k - 1
             

2.3     Perhitungan c²

Contoh  3 :
Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

kategori :
sisi-1
sisi-2
sisi-3
sisi-4
sisi-5
sisi-6
frekuensi observasi
        20
20   
       20
22
         20
17
      20
18
      20
19
       20
24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?
Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi :
1.                :           Dadu setimbang semua sisi akan muncul = 20 kali.
                   :           Dadu tidak setimbang ada sisi yang muncul 20 kali.

2.         Statistik Uji c²

3.         Nilai = 5 % = 0.05
            k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

4.         Nilai Tabel c²            
k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5
db = 5; = 0.05 c² tabel = 11.0705

5.         Wilayah Kritis = Penolakan  jika  c² hitung  > c² tabel (db; a)
                                                                       c² hitung > 11.0705

6.         Perhitungan c²           


     
           
            (catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik)
           
kategori :
(-)
(-)²
(-)²/
sisi-1
 20
 20
 0
 0
 0
sisi-2
 22
 20
 2
 4
 0.20
sisi-3
 17
 20
-3
 9
 0.45
sisi-4
 18
 20
-2
 4
 0.20
sisi-5
 19
 20
-1
 1
 0.05
sisi-6
 24
 20
 4
16
 0.80
120
120
---------
--------------
1.70

     c²  hitung = 1.70

7.         Kesimpulan :
            c²  hitung = 1.70 <  c² tabel
            Nilai c²  hitung ada di daerah penerimaan
             diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.


Contoh 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat :  Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1.  Jika 500 kg adonan yang dihasilkan,  diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai  dengan perbandingan yang telah ditentukan?  Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Solusi :
1.    :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  =  5 : 2 : 2 : 1
       :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  5 : 2 : 2 : 1


2.         Statistik Uji c²

3.         Nilai = 1 % = 0.01

4.         Nilai Tabel c²
k = 4;  db =k -1 = 4-1= 3
db = 3; = 0.01 c² tabel = 11.3449

5.         Wilayah Kritis = Penolakan  jika  c² hitung  > c² tabel (db; a)
                                                                      c² hitung  > 11.3449

6.         Perhitungan c²

      


kategori :
(-)
(-)²
(-)²/
Coklat
275
250*)
   25
625
   2.50
Gula
  95
100 
   -5
 25
   0.25
Susu
  70
100
  -30
900
   9.00
Krim
  60
  50
   10
100
   2.00
S
500
500
-----------
--------
 13.75


*)         Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1
            Dari 500 kg adonan Nilai ekspektasi  Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg
                                                Nilai ekspektasi  Gula =  2/10 x 500 = 100 kg
                                                Nilai ekspektasi  Susu = 2/10 x 500 = 100 kg
                                                Nilai ekspektasi  Krim =  1/10 x 500 =   50 kg

c² hitung = 13.75



7.         Kesimpulan :
            c² hitung >  c² tabel ( 13.75 > 11.3449)
             ditolak,  diterima. 
Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ¹ 5 : 2 : 2 :1



3.       Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.
(Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)





3.1     Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A.        Uji Kebebasan :

        :          variabel-variabel saling bebas                                   
        :          variabel-variabel tidak saling bebas              


B         Uji Beberapa Proporsi :

       :           setiap proporsi bernilai sama                         
       :           ada  proporsi yang bernilai tidak sama                      



3.2     Rumus Uji

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi.
Bentuk umum Tabel Kontingensi berukuran r baris x k kolom




                  

                  derajat bebas = (r-1)(k-1)
                  r : banyak baris
                  k : banyak kolom
                 : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j
                 : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

3.3     Perhitungan c²

Contoh 5 :                  
           

Kita akan  menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik.  Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :
pria
wanita
Total Baris
Kurang dari 25 jam/minggu
       2.33 
2
     2.67
3
        
5
25 sampai 50 jam/minggu
       6.07    
7
     6.93
6
   
13
lebih dari 50 jam/minggu
       5.60
5
     6.40
7

12
Total Kolom


14
 

16
Total Observasi= 

30
*)         Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi
Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? 
Lakukan pengujian  kebebasan variabel dengan taraf uji 5 %
Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom)
db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi :
1.                 :    Gender  dan Jam kerja saling bebas        
                    :     Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2.         Statistik Uji = c²

3.         Nilai  = 5 % = 0.05

4.         Nilai Tabel c²  db = 2; = 0.05 c² tabel  = 5.99147
5.         Wilayah Kritis : Penolakan            c² hitung > c² tabel
                                                                            c² hitung > 5.99147

6.         Perhitungan c²

    
frekuensi harapan untuk :      
pria, < 25 jam =                         pria, 25-50 jam =       

pria, > 50 jam   =       

wanita, < 25 jam  =                    wanita, 25-50 jam =   
                                               
wanita, > 50 jam =     

Selesaikan Tabel perhitungan c²  di bawah ini.
           
kategori :
(-)
(-)²
(-)²/
P, < 25
 2
2.33
 -0.33
0.1089
0.1089/2.33 =  0.0467
P, 25 - 50
 7
6.07
  0.93
0.8649
                        0.1425
P, > 50
 5
5.60
-0.60
0.36
                        0.0643
W, < 25
 3
2.67
 0.33
0.1089
                        0.0408
W, 25-50
 6
6.93
-0.93
0.8649
                        0.1249
W, >50
 7
6.40
 0.60
0.36
                        0.0563
------
-----
--------
---------
c² hitung =       0.4755
                                                                                   
7.         Kesimpulan

            c² hitung < c² tabel (0.4755 < 5.99147)
            c² hitung ada di daerah penerimaan
             diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan :          Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan   
hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)


Contoh 6 :

Berikut adalah data proporsi penyiaran film(satuan pengukuran dalam persentase (%) jam siaran TV) di 3 stasiun TV.  Apakah proporsi pemutaran Film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun Tv tersebut sama?   Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %



                       
ATV (%)
BTV (%)
CTV (%)
Total Baris (%)
Film India
       4.17
4.5
        2.92
3.5
        2.92
2.0
     
      10
Film Kungfu
       3.33
2.5
        2.33     
1.0
        2.33
4.5
     
        8
Film Latin
       2.50   
3.0
        1.75
2.5
        1.75
0.5
      
        6
Total Kolom
               (%)

10

 7
  
7
Total Observasi (%) =        
      24
*)         Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi
Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 3( 3 baris dan 3 kolom)
db = (3-1)(3-1) = 2 x 2 =  4

Solusi :

1.          :     Proporsi pemutaran film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun
TV adalah sama.
 :    Ada  proporsi pemutaran film India, Kunfu dan Latin di ketiga stasiun TV yang tidak sama.

2.         Statistik Uji = c²

3.         Nilai  = 2.5 % = 0.025

4.         Nilai Tabel c² db = 4; = 0.025 c² tabel  = 11.1433

5.         Wilayah Kritis : Penolakan                   c² hitung > c² tabel
                                                                                    c² hitung > 11.1433
6.         Perhitungan c²
frekuensi harapan untuk                                

India, ATV =                        Kungfu, ATV =

                                                                       
Latin, ATV =

India, BTV =                             Kungfu,BTV =
                                                                       
            Latin,BTV =  
                                                                       
            India,CTV=                               Kungfu,CTV =           
                                                             
            Latin, CTV = 

Tabel perhitungan  c² berikut

kategori :
(-)
(-)²
(-)²/
Ind,ATV
 4.5
4.17
  0.33
0.1089
0.1089/4.17 = 0.0261
Kf,ATV
 2.5
3.33
-0.83
0.6889
                       0.2069
Lat,ATV
 3.0
2.50
  0.50
0.2500
                       0.1000
Ind,BTV
 3.5
2.92
-0.58
0.3364
                       0.1152
Kf,BTV
 1.0
2.33
-1.33
1.7689
                       0.7592
Lat,BTC
 2.5
1.75
  0.75
0.5625
                       0.3214
Ind,CTV
 2.0
2.92
-0.92
0.8464
                       0.2899
Kf,CTV
 4.5
2.33
 2.17
4.7089
                       2.0201
Lat,CTV
 0.5
1.75
-1.25
1.5625
                       0.8929
 24
------
-------
---------
c² hitung =      4.7317
                                                 
7.                  Kesimpulan : c² hitung terletak di daerah penerimaan .
 diterima,  proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga s   
stasiun TV adalah sama.

 

 



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

CONTOH REGRESI SEDERHANA DAN UJI ANOVA

Gambar
CONTOH SOAL REGRESI SEDERHANA Persamaan Regresi : Y' = a + bX  Dimana : Y' = variabel tidak bebas (nilai yang diprediksikan) X  = Variabel bebas (nilai yang memprediksi / prediktor) a  = Konstanta (jika nilai X = 0, maka Y' = a) b  = Koefisien regresi Dalam analisis regresi linier sederhana adalah menentukan nilai konstanta a dan koefisien b. Apakah koefisien b bernilai positif atau negatif, apakah koefisien b bernilai nol atau tidak. Jika b = 0, berarti tidak ada pengaruh antara variabel bebas X terhadap variabel tidak bebas Y. b < 0, berarti hubungan yang berbalik arah antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y. b > 0, berarti hubungan yang searah antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y. Menghitung koefisien a dan b : > Analisis Koefisien Determinasi R 2 Artinya : Sekitar R 2 variasi variabel tidak bebas Y dapat dijelaskan oleh variabel bebas X. Koefisien determinasi digunakan untuk mengetahui prosentase sumb...
Baca selengkapnya

UJI ANOVA ( UJI F )

Gambar
NAMA            : WA ODE SRI WAHYUNINGSIH NPM                : 17 630 104 TUGAS  07      : STATISTIK/PROBABILITAS Uji ANOVA Written By Malonda Gaib on Senin, 21 Maret 2011 | 21.3.11 Anova (analysis of varian) digunakan untuk menguji perbedaan mean (rata-rata) data lebih dari dua kelompok. Misalnya kita ingin mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata lama hari dirawat antara pasien kelas VIP, I, II, dan kelas III. Anova mempunyai dua jenis yaitu analisis varian satu faktor ( one way anova ) dan analsis varian dua faktor ( two ways anova ). Pada kesempatan ini hanya akan dibahas analisis varian satu faktor. Beberapa asumsi yang harus dipenuhi pada uji Anova adalah:  Sampel berasal dari kelompok yang independen Varian antar kelompok harus homogen Data masing-masing kelompok berdistribusi normal Asumsi pertama...
Baca selengkapnya